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擺

傅科擺
傅科擺

擺是一種實驗儀器，可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條繩或竿，和一個錘組成。錘繫在繩的下方，繩的另一端固定。當推動擺時，錘來回移動。擺可以作一個計時器。

目录

[编辑] 類型

[编辑] 簡單擺

sin θ取為θ的誤差。
sin θ取為θ的誤差。

取\ell為繩的長度，θ為繩和垂直平面的線的交角，θ0為θ的最大值，m為錘的質量，\ddot{\theta} 表示角度加速度\alpha = \frac{d^2 \theta}{d t^2}。

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響：

  • 錘速率最高是在θ = 0時。當錘昇到最高點，其速率為0。繩的張力沒有對錘做功，整個過程中動能和位能的和不變。
  • 運動方程為：
m \ell \ddot{\theta} = m g \theta

注意不論θ的值為何，運動週期和錘的質量無關。

當θ相當小的時候，\sin \theta \approx \theta，因此可得到一條齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動，週期T=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}。

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程：

{dt\over d\theta} = {1\over\sqrt{2}}\sqrt{\ell\over g}{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}
T = \theta_0\rightarrow0\rightarrow-\theta_0\rightarrow0\rightarrow\theta_0 = 4\left(\theta_0\rightarrow0\right)
T = 4{1\over\sqrt{2}}\sqrt{\ell\over g}\int^{\theta_0}_0{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式：

T = 4\sqrt{\ell\over g}F\left({\sin\theta_0\over 2}, {\pi \over 2} \right)

其中F(k,\phi) = \int^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}\,d\theta.

週期可以用級數表示成：

T = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \cdots \right)

[编辑] 衝擊擺

衝擊擺是來用計算彈殼速度的實驗室儀器。它的原理為：物件碰撞前後動量等恆，擺運動時能量等恆。

衝擊擺和普通擺相似，特別之處它的錘會和彈殼產生完全非彈性碰撞，即碰撞後兩者會合為一。

將彈殼射向停止的錘，使錘和彈殼合在一起擺動。設錘質量為mp，彈殼質量和初速度分別為mb和v，錘和彈殼碰撞後的速度為u。

以下是彈殼速度的計算方法：

m_b \times v + m_p \times 0 = (m_b + m_p) \times u（動量等恆）
1 / 2(mb + mp)u2 = (mb + mp)gh （能量等恆）

解得 v = \frac{(m_b + m_p) \sqrt{2gh}}{m_b}。

真實圖片

[编辑] 倒單擺

[编辑] 凱特可倒擺

凱特可倒擺是由英國科學家Kater在1818年提出來測量重力加速度的工具。它比單擺準確。

在一根長桿上有一些重物。桿上有兩個刀口，分別在重心兩邊。設兩個刀口距離重心為h1,h2。分別以兩個刀口為支點進行微角度簡諧運動，考慮力距，可以計算得擺動周期T1,T2有以下關係：

\frac{8 {\pi}^2}{g} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{h_1 + h_2} + \frac{T_1^2 - T_2^2}{h_1 - h_2}

若調整重物的位置，使得T1 = T2，便可以很簡單地透過實驗計算出g的值。（詳細計算）

真實圖片

[编辑] 錐擺

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時，繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動。

[编辑] 複擺

複擺系統的一例
複擺系統的一例

複擺系統是混沌的。

[编辑] 磁性擺

和複擺一樣，磁性擺系統是混沌的。

[编辑] 應用

[编辑] 傅科擺

主条目：傅科擺

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

[编辑] 鐘擺

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響，有不同的設計：

  • 柵形補償擺（Gridiron Pendulum）：以不同金屬（鋼和銅）配搭，保持擺的長度不變[1]
  • Graham's pendulum：有一個水銀管柱，保持擺的重心不變
  • 以木製擺[2]
  • Ellicott compensated pendulum：用多個擺的結構配合

[编辑] 參考

  • en:Pendulum (mathematics)
    • Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
    • The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005


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