自然数

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2个分类: 数论 | 集合论

自然数，在数学中，是指正整数（1, 2, 3, 4...）。前面的定义通常在数论中使用；而在集合论和计算机科学中，则喜欢使用非负整数（0, 1, 2, 3, 4...）这种定义。

自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有3个苹果”），也可用于排序（如“这是国内第3大城市”）。

自然数有关整除性的特性，例如素数的分布，属于数论研究范围的课题。有关计数的问题，比如Ramsey理论在组合学中研究。

数学家一般以 $\mathbb{N}$ 代表以自然数组成的集合。此集合无上界而可数。

[编辑] 历史与0的定性

自然数由数数目而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。

零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。

19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。

[编辑] 符号

数学家们使用 N 或 $\mathbb{N}$ 来表示所有自然数的集合。这是一个可数的无穷集合。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：

N⁺ 或
$\mathbb{N}^{+}$
Z⁺ 或
$\mathbb{Z}^{+}$

而非负整数集合一般如下表示：

N⁰ 或
$\mathbb{N}^{0}$
Z⁺₀ 或
$\mathbb{Z}^{+}_{0}$

有些作者也使用 W 或 $\mathbb{W}$ 来表示“所有的数”的集合。

[编辑] 定义

要给出自然数的严谨定义并非易事。皮亚诺公设提出自然数要适合五点：

有一起始自然数 0。
任一自然数 a 必有后继（successor），记作 a +1。
0 并非任何自然数的后继。
不同的自然数有不同的后继。
（数学归纳公设）有一与自然数有关的命题。设此命题对 0 成立，而当对任一自然数成立时，则对其后继亦成立，则此命题对所有自然数皆成立。

若把 0 除出自然数之外，则公设内的 0 要换作 1。

集合论中的一般构作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集，即　0 =｛ }，1 = {0}，2 = {0,1}，3 = {0,1,2} ……若有人把自然数看作集合，通常就是如上。在此定义下，在集合 n 内就有 n 个元素；而若 n 小于 m，则 n 会是 m 的子集。

[编辑] 性质

自然数加法可经 $a + 0 = a$ 及 $a + (b + 1) = (a + b) + 1$ 递归定义而成。因而得出可置换幺半群 $(N, + )$ ，是由 $1$ 生出的自由幺半群，其中幺元为 $0$ 。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。

同理，自然数乘法 $\times$ 可经 $a \times 0=0$ 及 $a \times (b+1)=ab+a$ 得出。而 $(N, \times)$ 亦是可置换幺半群； $\times$ 和 $+$ 服从分配律：

$a \times (b+c)=ab+ac$ 。

我们说 $a \le b$ 当且仅当有自然数 $c$ 使得 $a + c = b$ 。 $(N, \le)$ 是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。此序也和加法及乘法兼容，即若 $a$ ， $b$ 和 $c$ 都是自然数且 $a \le b$ ，则 $a+c \le b+c$ 及 $ac \le bc$ 。